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本文发表于 2019 年 6 月 2 日的《南方周末》, 发表稿不含注釋, 标题为 “老树发新枝——黎曼猜想的新进展”。

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- 卢昌海 -

本文是应《南方周末》的约稿而撰, 本站版本包含了注釋。

最近一段时间, 在黎曼猜想的研究中, 时常爆出新闻。

这在一定程度上是拜这一猜想的崇高地位所赐。 黎曼猜想是德国数学家黎曼 (Bernhard Riemann) 于 1859 年在研究素数分布时提出的, 迄今已有 160 年, 却仍未被解决。

当然, 单以时间而论, 160 年未被解决在数学猜想大家庭里尚排不到老大, 比如哥德巴赫猜想早在 1742 年就被提出了, 迄今已有 277 年, 却也依然未被解决。 但是, 若以重要性而论, 黎曼猜想在数学猜想大家庭里的地位却是无可比拟的。 据统计, 在今天的数学文献里已有一千条以上的数学命题是以黎曼猜想 (或其推广形式) 的成立为前提的, 这种与数学其他部分的千丝万缕的联系构成了黎曼猜想的重要性之 “实”。 与这种实实在在的重要性遥相呼应的, 是 1900 年希尔伯特提出的 “数学问题” 及 2000 年美国克雷数学研究所 (Clay Mathematics Institute) 悬赏百万美元的 “千禧年问题” 都纳入了黎曼猜想——前者成就了黎曼猜想的显赫之 “名”, 后者为黎曼猜想添加了巨额之 “利”。

虽然数学被公认为抽象领域, 常为公众所漠视, 但这种 “实”、 “名”、 “利” 三位一体的重要性使黎曼猜想成为了数学领域里吸引公众眼球的少数例外。

那么, 什么是黎曼猜想呢? 用最简单的话说, 黎曼猜想是关于黎曼 ζ 函数零点分布的猜想。 稍稍细述一下的话, 那么黎曼 ζ 函数顾名思义, 是一个函数, 它跟许多其它函数一样, 在某些点上取值为零, 那些点被称为黎曼 ζ 函数的零点, 其中特别重要的一部分零点被称为黎曼 ζ 函数的非平凡零点。 黎曼猜想所 “猜” 的则是: 黎曼 ζ 函数的非平凡零点全都分布在一条被称为 “临界线” 的特殊直线上。

黎曼猜想与数学其他部分的千丝万缕的联系除构成它的重要性外, 还导致了一个特点, 那就是使黎曼猜想有很多等价命题——即与黎曼猜想要么同时成立, 要么同时不成立的命题。 这些等价命题中的一个是由匈牙利数学家波利亚 (George Pólya) 给出的。 1927 年, 波利亚证明了黎曼猜想这一关于黎曼 ζ 函数零点分布的猜想与另一类函数的零点分布具有等价性——换言之, 只要证明了那另一类函数零点分布的某些性质, 就等同于证明了黎曼猜想。 那另一类函数叫做詹森多项式 (Jensen Polynomial)——确切地说是跟黎曼 ζ 函数相联系的詹森多项式[注一]。 詹森多项式是以丹麦数学家詹森 (Johan Jensen) 对它的研究而得名的, 与黎曼猜想相等价的零点分布性质则是指詹森多项式的零点全都是实数[注二]

由于黎曼猜想始终未被解决, 因此任何等价命题原则上都开启了一种可能的解决途径——即通过研究等价命题来解决黎曼猜想, 波利亚给出的上述等价命题也不例外。 但不幸的是, 这一等价命题在很长的时间里甚至显得比黎曼猜想本身还难对付。 这是因为詹森多项式有无穷多组——彼此间以所谓的 “度数” (degree) 相区分, 每组又各有无穷多个——彼此间以所谓的 “偏移” (shift) 相区分[注三]。 而长期以来, 数学家们只证明了其中 “度数” 最低的 3 组詹森多项式的零点全都是实数——即满足黎曼猜想的要求, 这在全部詹森多项式中所占的比例为无穷小; 相比之下, 对黎曼 ζ 函数本身, 数学家们已证明了超过 40% 的非平凡零点满足黎曼猜想的要求。 因此, 波利亚给出的上述等价命题在研究黎曼猜想时受到了长期冷落, 仿佛一株枯萎的老树。

這一切最近發生了突然的變化。

2019 年 2 月, 美国数学家查基尔 (Don Zagier) 和美籍日裔数学家小野 (Ken Ono) 等人向美国《国家科学院院刊》 (Proceedings of the National Academy of Sciences) 提交了一篇论文, 宣称在研究波利亚给出的上述等价命题方面取得了重大进展[注四]。 具体地说, 该论文宣称证明了对具有相同 “度数” 的每一组詹森多项式, 除有限多个外, 其余全都满足黎曼猜想的要求——即零点全都是实数。 不仅如此, 对于 “度数” 最低的 8 组詹森多项式, 该论文宣称证明了它们的零点全都是实数。 这些结果虽不足以证明黎曼猜想, 跟原先所知的 “度数” 最低的 3 组詹森多项式的零点全都是实数相比, 却强出太多了, 从而立即将波利亚给出的上述等价命题推到了黎曼猜想研究的前沿, 大有让老树发新枝之势。

查基尔等人的论文的问世过程也很有趣。 读过拙作《黎曼猜想漫談》的读者也许还记得查基尔这个名字, 他年轻时曾跟意大利数学家蓬皮埃利 (Enrico Bombieri) 打赌, 赌黎曼猜想会在黎曼 ζ 函数的前 3 亿个非平凡零点中出现反例, 结果输了。 2016 年, 这位查基尔迎来了 65 岁的生日, 小野前往贺寿。 作为礼物, 小野带了一个有关多项式的题目给查基尔当娱乐。 说是 “娱乐”, 那个题目其实是相当棘手的, 棘手到了小野自己都不抱希望, 但查基尔却大感兴趣并很快取得了进展, 那进展又反过来给了小野启发, 于是他跟查基尔及自己以前的两位学生合作, 将 “娱乐” 进行到底, 沿那个有关多项式的题目一路推进, 最终推进到了詹森多项式, 并写出了上述论文。

5 月 21 日, 在经受住了审稿人的审读后, 查基尔等人的论文正式发表在了美国《国家科学院院刊》上, 并很快引起了媒体的兴趣, 成了黎曼猜想的研究中的最新新闻。 查基尔等人的这篇论文倘若正确, 则不仅是老树发新枝, 而且对黎曼猜想本身也是新的支持, 因为它相当于从詹森多项式的角度为黎曼猜想的成立提供了证据——而且是系统性的而非只是零星的证据。

不过, 虽经受住了审稿人的审读, 但在黎曼猜想这样艰深的领域里, 数学家们已学会了超常的谨慎。 查基尔等人的论文究竟是否正确, 还有待更多数学家的检验, 而非仅仅以论文的发表为终结。 不过就这篇论文而言, 有一个特点比较利于检验, 那就是这篇论文没有用到特别艰深的数学工具——用小野自己的话说, “我们证明的美丽之处在于它的简单”。 由于这一特点, 也许不必等待太久, 数学界就会完成检验并达成某种共识。

在那之前, 如果要我对成功希望发表点看法的话, 那么在缺乏其他参考的情形下, 一般来说, 我的看法是: 一项黎曼猜想研究的成功希望反比于结果的宏大程度。 对黎曼猜想研究来说, 最宏大的结果莫过于直接给出黎曼猜想的证明, 成功的希望则是最小的; 查基尔等人的论文不在此列——事实上, 查基尔等人自己也承认, 他们的论文距黎曼猜想的证明还差得很远。 但也因此, 成功的希望相对较大。 同样也因此, 我愿冒随时被证伪的危险, 对查基尔等人的研究表示审慎的乐观: 愿这一研究确实让老树发新枝, 更愿新枝还能继续成长。

注釋

  1. 更确切地说是跟所谓的 ξ 函数相联系的詹森多项式——这里的 ξ 函数是研究黎曼猜想时很常用的辅助函数, 具体定义可参阅拙作 Riemann 猜想漫谈第五節。 詹森多项式本身是可以跟一大类函数相联系的, 具体定义——据本文所谈及的论文——是这样的: 对给定的函数 f(z) = Σk γ(k) z2k/k!, 与该函数相联系的 “度数” (degree) 为 d, “偏移” (shift) 为 n 的詹森多项式为: Jd, n(x) := Σj C(d, j) γ(n + j) xj, 其中 C(d, j) 为二项式系数, 对 j 的求和从 0 到 d。
  2. 如果与物理学相类比的话, 那么波利亚的等价命题让我想起的是超弦理论里的对偶性: 研究詹森多项式的零点分布仿佛是通过对偶理论研究黎曼猜想。
  3. “度数” 和 “偏移” 的含义参阅 [注一]
  4. Ken Ono 似尚无中译名, 维基百科给出的日文名为 “ケン?オノ”, 其父 Takashi Ono 也是数学家, 日文名为 “小野孝”, 本文暂依姓氏译为小野。

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