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北京pk技巧想输都难

- 卢昌海 -

讀湯濤老師簽贈的《从圆周率计算浅谈计算数学》一书毕, 在这里要点个赞——虽说为作者亲赠的书点赞易招风言, 但此书却值得 “顶风” 一赞。

以类型而论, 此书属于我所说的 “專業科普”, 是我素来偏好的类型。 就内容而言, 此书以对 π 的计算为线索, 介绍了计算数学的若干概念和方法, 可谓小中见大。 具体地说, 此书首先从效率低下的韦达 (Fran?ois Viète)、 莱布尼茨 (Gottfried Wilhelm Leibniz)、 欧拉 (Leonhard Euler) 诸公式谈起, 既而运用修正公式、 数值积分、 迭代等方法给出了若干效率稍高的算法, 然后再到效率极高的高斯-勒让德算法 (Gauss–Legendre algorithm), 最后以高效且可对指定位数上的数值进行定点计算——从而可对其他计算的结果进行核验——的 BBP 算法 (Bailey–Borwein–Plouffe algorithm) 收尾, 逻辑流畅, 条理分明, 层层递进。

更难得的是, 此书篇幅仅 60 页, 却:

  1. 涵盖了所有公式的推导 (当然, 既为專業科普, 自有一定的推导门槛), 深入浅出, 透彻明晰, 读之畅快淋漓, 全无小篇幅著作常有的删略感;
  2. 于技术性内容之外点缀了花絮 (比如提到韦达时, 点缀了韦达破译西班牙人的密码, 使后者气急败坏地指责其使用巫术, “违背了基督教的信仰” 之轶事), 有一种游刃有余的闲适, 全无小篇幅著作常有的急促感;
  3. 有不少精辟之语 (比如 “数学模型本身也是近似的…… 在这种情况下, 一定非要求出它的精确解本身就是一个苛刻且不必要的要求”, “求出问题具有足够精确度的近似解实际上是一个根本性的要求, 并没有打一些折扣来 ‘讨价还价’ 的意味”), 含义周备而准确, 画龙点睛, 全无小篇幅著作常有的草率感。

花几小时读一本 60 页的书, 就能对计算数学这一重要领域及计算 π 这一重要个案有不无深度的了解, 这该有足够的吸引力吧? 若还不够, 那么容我用书里的一句话来进一步 “勾引”, 那是在介绍了荷兰数学家鲁道夫 (Ludolph van Ceulen) 穷毕生精力将 π 算到小数点后第 35 位之后的一句话: “……到本书的后面, 我们可以看到这实际上是轻而易举的一件小事, 完全不需要用一辈子的时间, 手算一天就可以了”。 手算一天就能超越一位数学家的毕生工作, 而这可以只花几小时读一本 60 页的书就学会, 为这样的书点赞不过分吧?

最后, 有一处笔误提一下, 重印时或可订正之: 通过在高斯-勒让德算法的基础之上提炼出的计算机算法, 日本筑波大学于 2009 年 “计算出 π 小数点后 2,500 多亿位数字”——这 “2,500 多亿位” 应为 “25,000 多亿位” (这个笔误本身也从一个侧面显示出高斯-勒让德算法的威力)。

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