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- 卢昌海 -

本文是应《科技日报》约稿而写的答问, 也是以 9 月 24 日之前的视角谈论元老级英国数学家阿蒂亚爵士宣称证明黎曼猜想一事 (另一篇这一视角的约稿为 89 岁的数学家与 159 岁的数学猜想), 不过多数问题是有关黎曼猜想本身的, 不受时效影响。

問: 您可否用尽量简单易懂的语言 (因为是面向普通读者) 介绍一下黎曼猜想?

答: 黎曼猜想是关于一个被称为黎曼 ζ 函数的复变量函数的猜想。 黎曼 ζ 函数跟许多其它函数一样, 在某些点上取值为零, 那些点被称为黎曼 ζ 函数的零点, 其中特别重要的一部分零点被称为非平凡零点。 黎曼猜想所 “猜” 的是: 黎曼 ζ 函数的所有非平凡零点都分布在复平面上一条被称为 “临界线” 的特殊直线上。

問: 黎曼猜想爲何在數學中擁有如此重要的地位?

答: 黎曼是在一篇题为 “论小于给定数值的素数个数” 的论文中提出黎曼猜想的, 这个起源显示了黎曼猜想的一个特点, 那就是跟素数分布有着密切关系。 由于素数分布是数论中的重要课题, 数论又是被德国数学家高斯称为 “数学的皇后” 的重要领域, 这在一定程度上奠定了黎曼猜想的重要性。 更重要的则是, 黎曼猜想跟诸多数学命题有着千丝万缕的联系——据统计, 当今数学文献中有 1,000 条以上的数学命题是以黎曼猜想或其推广形式的成立为前提的。 一个数学猜想与为数如此众多的数学命题的命运息息相关, 在数学中是绝无仅有的。

問: 黎曼猜想提出后, 很多数学家尝试证明它, 可否简要介绍一下其历程?

答: 数学家证明黎曼猜想的尝试可粗分为分析与数值核验两大渠道。 在分析方面, 最早的重要成果是将非平凡零点的分布确定到一个所谓的 “临界带” 上, 这比 “临界线” 弱得多, 却收获了一个重要的 “副产品”——证明了本身就悬而未决百年以上的素数定理 (这种在研究过程中能收获 “副产品” 的特点也是黎曼猜想重要性的组成部分)。 接下去则先是证明了有无穷多个非平凡零点分布在 “临界线” 上, 继而又将那 “无穷多个” 具体化为百分比, 目前这方面最佳的成果是证明了至少有 41.28% 的非平凡零点分布在 “临界线” 上。 在数值核验方面, 目前的最佳成果是证实了前 10 万亿个非平凡零点无一例外地分布在 “临界线” 上。

問: 黎曼猜想为何在提出 159 年后仍未被证明, 其难度何在?

答: 这个老实说我也不知道。 很多世界级的数学难题之所以博得艰深之名, 是从大量一流数学家的努力未果中归纳出来的, 至于难度何在, 往往无法道明——也许, 这本身也是难度的一部分吧。

問: 假如黎曼猜想被证明, 对数学或其他领域有何重大影响?

答: 如前所述, 当今数学文献中有 1,000 条以上的数学命题是以黎曼猜想或其推广形式的成立为前提的。 因此, 黎曼猜想及其推广形式一旦被证明, 数学中将史无前例地于 “一夜间” 新增 1,000 多条定理, 这将对数学的面貌产生非同小可的影响。 所有直接间接用到那些命题的领域也将程度不等地受到影响。

問: 最近有报道说, 如果黎曼猜想被证明, 现有的所有互联网加密方式都将不太安全, 是这样吗?

答: 我不曾留意到这样的报道。 据说 2005 年的一部题为 “头号嫌犯” (Prime Suspect) 的电视连续剧中有一集的剧情宣称了这种可能性, 不知是否为报道之由来, 但那只是电视连续剧。 现实地讲, 虽然互联网的某些加密方式跟素数的性质有关, 而黎曼猜想与素数的性质也有密切关系, 但据我所知并没有哪一种互联网加密方式是以黎曼猜想的不成立为前提, 从而会因黎曼猜想的成立而破灭的。 退一步说, 哪怕有这样的加密方式, 那它的破灭与否也只是依赖于黎曼猜想的成立与否, 而非证明与否——证明只是对破灭的确认, 并不缔造破灭的事实。

問: 还有报道认为, 阿蒂亚爵士有可能借助量子力学来证明或证伪黎曼猜想, 您怎么看?

答: 有关阿蒂亚爵士试图以何种手段证明或证伪黎曼猜想, 我们的线索很少。 在网上公布的简短声明中, 除 “简单” (simple) 和 “全新” (radically new) 这两个形容词外, 就只有冯·诺依曼 (John von Neumann)、 希策布鲁赫 (Friedrich Hirzebruch) 和狄拉克 (P. A. M. Dirac) 这三个人名。 三人之中, 冯·诺依曼和狄拉克两人对量子力学有过重要贡献。 另一方面, 阿蒂亚爵士过去十几年的研究颇为跨界, 对粒子物理等领域投注了兴趣, 而量子力学的某些东西——比如狄拉克方程等——在阿蒂亚爵士所擅长的几何领域也颇有应用。 从黎曼猜想本身来说, 它所涉及的黎曼 ζ 函数的非平凡零点的分布跟某些特殊的量子体系确实存在着一些目前还很神秘的关联。 将这些线索综合起来看, 阿蒂亚爵士的证明尝试与量子力学有所交叠是完全可能的。 真相究竟如何呢? 好在 9 月 24 日就快到了。

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